細說傾聽。技安聚星堂: 排容原理(Principle of Inclusion and Exclusion)（一）

http://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?p=12453

排容原理(Principle of Inclusion and Exclusion)（一）
國立高雄大學應用數學系游森棚副教授責任編輯

排容原理( Principle of Inclusion and Exclusion, 簡稱PIE), 是高中排列組合的第三個, 也是最後一個基礎原理(前兩個是“乘法原理(Rule of Product)”與“加法原理” (Rule of Sum)) 亦有一些書按英文順序直譯為容斥原理(或許這是比較好的翻譯)。

排容原理中的‘排’ 是指“排除”, ‘容’是指“容納”。基本上的想法就是“多退少補” — 多算的要排除, 少算的要加進來.。從原文亦可以清楚看出這個原理的精神。
高中數學的排容原理, 課堂上的實際教學不外乎從介紹下列式子開始:

$| {A} bigcup {B} | = |{A}| + |{B}| - |{A} bigcap {B} |$ (1)

老師的講解都是用文氏圖(Venn diagram) 來說明的. 這是直觀而容易懂的好方法:

接著例題可能就是“國文及格有30 人, 數學及格有20 人, 兩科都及格有15人, 問至少一科及格有幾人?”. 緊接著必定會介紹三個集合的排容原理, 一樣會利用文氏圖來說明:

$| {A} bigcup {B} bigcup {C} | = |{A}| + |{B}| + |{C}| - |{A} bigcap {B} | - |{B} bigcap {C} |- |{A} bigcap {C} | + |{A} bigcap {B} bigcap {C}|$ ,(2)

高中的排容原理, 事實上教到這裡已經非常足夠了。但一些教師可能會接著介紹一般性的結果, 也許這樣講: “同理可證, 四個集合的排容原理如下:”

$|{A}bigcup{B}bigcup{C}bigcup{D} |= |{A}| +|{B}|+|{C}|+|{D}| - |{A} bigcap {B}| - |{A} bigcap {C}| - |{A} bigcap {D}| - |{B} bigcap {C}| - |{B} bigcap {D}| - |{C} bigcap {D}| + |{A} bigcap {B} bigcap {C}| +|{A} bigcap {B} bigcap {D}| + |{A} bigcap {C} bigcap {D}| + |{B} bigcap {C} bigcap {D}| - |{A} bigcap {B} bigcap {C} bigcap {D}| mbox{ , (3)}$

學生多半能從上述三個式子中看出規則, 老師最後就會說“一般來說, 有以下的排容原理:”

口頭上會加上說明: “一個一個加(所以一共 $left( begin{array}{c} {n}\ {1} end{array}right)$ ) , 減去兩個兩個交集(所以一
共減去 $left( begin{array}{c} {n}\ {2} end{array}right)$ )項), 加回來三個三個交集(所以加回來 $left( begin{array}{c} {n}\ {3} end{array}right)$ 項), 再減去四個四個…”。