多項式函數圖形的巨觀與微觀（Global and Local Perspectives of the Graphs of Polynomial Functions）

多項式函數圖形的巨觀與微觀（Global and Local Perspectives of the Graphs of Polynomial Functions）
國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

摘要：闡明多項式函數的圖形，巨觀而言由首項決定，微觀而言由其泰勒形式的低次項決定。

所謂「巨觀」是指當函數的自變數在一個頗大的範圍  之中的函數圖形，其中  是一個「頗大」的正數。相對地，所謂「微觀」是指在某個給定的自變數c「附近」的函數圖形，例如自變數在範圍之中，其中（讀作epsilon）是數學文件中習慣用來表示「微小正數」的符號。

• 巨觀

先看巨觀。例如  在範圍內的圖形如下，它看起來有些「曲折」。

但是，如果在 範圍內繪圖，則因為 的範圍在之間，在一塊合適的區域內繪圖，實務上已經不能用一致的單位長，而必須採用 zoom-out 的手法表現，如下圖。此時，圖形看起來就像  的圖形，向右稍微平移了一點。

如果再擴大繪圖的範圍，例如取  ，則 的範圍在 之間，zoom-out 的效果就像是「站得遠的看」，如下圖。此時連向右的一點平移也不見了，圖形看起來就像  。

一般而言，若是一個 次多項式函數，則

當    很大時，括號裡的數值幾乎是 ，所以 ，可見  的函數圖形幾乎就是冪函數  的圖形。這也就是說，巨觀而言，多項式函數圖形大約是由其首項決定的冪函數圖形。

• 微觀

再看微觀。假設我們在 附近觀察函數圖形，則先將多項式改寫成以  為參考點的泰勒形式，而且此時以升冪排列較方便：其中 而  。若在範圍內觀察函數圖形，則因為，當時，當是一個微小的正數，不等式的右式是一個很小的數，可見 ，因此的函數圖形幾乎就是由泰勒多項式最低兩項所決定的 線型函數圖形。

繼續以 為例，若取  ，則其升冪泰勒形式為因為  恰為  的一根，所以常數項為。在此情況下，由泰勒多項式決定的線型函數是  。取  ，在 範圍內的函數圖形如以下的紅色曲線，而上述線型函數是下圖中的藍色直線。很明顯地，它們非常接近。

以上範例也展示了「單根」的特徵：在單根的附近，函數圖形就像一條與 軸有交點的直線。

但是，有可能 ，則微觀而言函數圖形就不再像一條直線。一般而言，令 是除了常數項以外，使得 之係數不為  的最低次係數。它一定存在，因為至少  。在此情況下，微觀而言， 在 附近的圖形非常靠近的圖形。

接續前面的例子，若取  ，則其升冪泰勒多項式為

因為  恰好是  的根，所以常數項是，而此時 也恰好是。在此情況下，由泰勒多項式決定的二次函數為  。取  ，在範圍內的函數圖形如以下的紅色曲線，而上述二次函數是下圖中的藍色曲線。很明顯地，它們非常接近。事實上，這也就是 重根的微觀圖形特色：當 是 的 重根時，而在此根附近的函數圖形，就像平移的 次冪函數 。如同以上的  是一個二重根，  在  的圖形大約是一個開口向下的拋物線。

一般而言，當而  ，則  在 附近的函數圖形就像一個以 為頂點的拋物線  。例如，前述的 以  為參考點的泰勒多項式是

取  所做的圖如下，紅色是 在  附近的圖形，而藍色是拋物線的圖形。

由以上的範例可知，一般而言，當 而 ，因為函數  在 附近的函數圖形就像一個開口向上或向下的拋物線，而 就是拋物線的頂點，所以在 的附近，函數在發生了局部的極大值或極小值  。當  拋物線開口向上，所以  是局部的極小值，而當  則 是局部的極大值。

向前連結：泰勒多項式、函數圖形

向後連結：多項式的導數

延伸閱讀：1.  單維彰，高中數學I 之〈教師手冊〉及其光碟內的輔助程式，三民書局，99年5 月。